Exemple de serie convergente

Le test de ratio et le test de racine sont tous deux basés sur la comparaison avec une série géométrique, et en tant que tels, ils travaillent dans des situations similaires. Cela sera toujours vrai pour les séries convergentes et conduit au théorème suivant. Donc, il est maintenant temps de commencer à parler de la convergence et de la divergence d`une série, car ce sera un sujet que nous allons traiter dans une mesure ou une autre dans presque toutes les sections restantes de ce chapitre. Nous devons être un peu prudents avec ces faits quand il s`agit de séries divergentes. Laissez $b _ n = sqrt{n} $ ou $n $ selon que $n $ est pair ou impair. Attention à ne pas abuser de ce théorème! Si 1 puis 1 pour tous ne définit pas une séquence null et la série diverge par le test de séquence null. Séquence Cauchy. Toute série qui n`est pas convergente est dite divergente. Jusque-là, ne vous inquiétez pas. Si la série ∑ n = 1 ∞ | a n | {displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} left | a_ {n} rightvert} converges, alors la série ∑ n = 1 ∞ a n {displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}} est absolument convergente. Le théorème de la série Riemann stipule que si une série converge conditionnellement, il est possible de réorganiser les termes de la série de telle manière que la série converge vers n`importe quelle valeur, voire diverge. Toutefois, il est possible d`avoir les deux (sum {{a_n}} ) et (sum {{B_N}} ) être des séries divergentes et ont encore (sumlimits_{n = k} ^ infty {left ({{a_n} pm {B_N}} right)} ) une série convergente Ce n`est pas quelque chose que vous serez jamais demandé de savoir dans ma classe. Il y a un analogue du test de comparaison pour une série infinie de fonctions appelées le M-test de Weierstrass.

Écrivons juste les premières sommes partielles. Let {f 1, f 2, f 3,…} {displaystyle left{f_{1}, f_ {2}, f_ {3}, dots right}} être une séquence de fonctions. Voici un bel ensemble de faits qui régissent cette idée de quand un réarrangement conduira à une valeur différente d`une série. Lorsque nous avons enfin les outils en main pour discuter de ce sujet plus en détail, nous allons le revoir. Le test de divergence est le premier test de nombreux tests que nous allons examiner au cours de la prochaine plusieurs sections.

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